緣起
每當住進飯店，洗澡時水龍頭都要調好幾秒，才能達到合適的溫度，手稍微往熱水一扳，就被燙得哇哇叫，調回來又覺得太冷。
儘管我們知道溫度慢慢調是最好的，但它背後的原理是什麼呢。
開始討論前，我們要先了解「系統」。
初探系統
「系統」這個詞被用在許多場合，例如電腦有「作業系統」，汽車有「動力系統」，學測要考「物理系統」，我們身在一個「社會系統」，甚至人體也是一個系統。但是，系統到底是什麼？
籠統地說，系統可表示為「事物間的關係與作用」，例如你手拿著 1kg 的物品，由於重力和正向力抵銷，物體靜止不動，這就是一個手、物體和地面組成的系統。當然，系統不單解釋實際物理狀態，也探求經濟、社會變化等議題。
系統由三個要素組成：元素、關係和功能，例如人體中的紅血球，就是血液循環系統的元素，而紅血球與各細胞交換物質、心臟推動血液的速度就是它們的關係，而功能就是我們關注的目標，看你怎麼定，研究「如何達到血液最高流速」也是可以的。
一般來說，元素被替換對系統不會造成太大影響，人的血液細胞每三個月換一次，我們還是活得好好的。而關係和功能就相當重要，若哪天紅血球不運送氧氣，人類就滅亡了。
元素間的關係包括「正回饋」和「負回饋」，例如「收入 -> 利潤」是正回饋，收入越多利潤越大，而「支出 -> 利潤」是負回饋，它們增減是反向的。
多個回饋合起來，便可形成「迴路」。
晚睡導致晚起，晚起又導致晚睡，這是「增強迴路」。
獵物多導致掠食者多，掠食者多導致獵物少，兩者處在一個平衡狀態，這是「調節迴路」。
分析複雜迴路，我們可以探求事物間的關係。
水龍頭系統
（這裡我用《系統之美》的畫法，左邊流入右邊流出，兩者都有控制閥門）
當前水溫和預期溫度組成溫差，溫差決定調熱水的幅度（這邊假設冷水固定，也就是溫度流失速率固定）。
假設水溫調節和溫差關係如下：
$$
\frac{dT}{dt}=a(T_1-T)
$$
- $T$: 水溫
- $t$: 時間
- $a$: 調水溫的幅度
- $T_0$: 當前溫度
- $T_1$: 理想溫度
解微分方程：
$$
\begin{align*}
&\frac{dT}{dt}=a(T_1-T)\\
&\Rightarrow T’+aT=aT_1\\
&\Rightarrow e^{at}T’+e^{at}aT=e^{at}aT_1\\
&\Rightarrow (e^{at}T)’=e^{at}aT_1\\
&\Rightarrow e^{at}T=\int e^{at}aT_1\,dt=\frac{aT_1}{a}e^{at}+C\\
&\Rightarrow T=T_1+Ce^{-at}\\
\end{align*}
$$
由於 $T(0)=T_0$
$$
T=T_1+(T_0-T_1)e^{-at}
$$
圖形長這樣：
看起來溫度不會上下震盪？
在這個例子，我們假設調節幅度即時反應到溫度，實際上，熱水要過一段時間才能送達，因此式子要改。
$$
\begin{align*}
&T(t)=T_0\text{ for }t\in[-d, 0]\\
&\frac{dT}{dt}=a(T_1-T(t-d)){ for }t\ge 0
\end{align*}
$$
- $T$: 水溫
- $t$: 時間
- $a$: 調水溫的幅度
- $T_0$: 當前溫度
- $T_1$: 理想溫度
- $d$: 熱水延遲時間
當下調整水龍頭，要經過 d 秒才能作用，因此 t 秒時斜率取決於 t-d 秒的溫度。
一段一段算延遲微分方程，對於 $t\in[0, d]$：
$$
\begin{align*}
&\frac{dT}{dt}=a(T_1-T(t-d))\\
&\Rightarrow T(t)=T(0)+\int^t_0a(T_1-T(s-d))\,ds\\
&\Rightarrow T(t)=T(0)+\int^t_0a(T_1-T_0)\,ds\\
&\Rightarrow T(t)=T_0+a(T_1-T_0)t\\
\end{align*}
$$
對於 $t\in[d, 2d]$：
$$
\begin{align*}
&\frac{dT}{dt}=a(T_1-T(t-d))\\
&\Rightarrow T(t)=T(d)+\int^t_da(T_1-T(s-d))\,ds\\
&\Rightarrow T(t)=T(d)+\int^t_da(T_1-(T_0+a(T_1-T_0)(s-d)))\,ds\\
&\Rightarrow T(t)=T(d)+[a(T_1-T_0)s-\frac 12a^2(T_1-T_0)(s-d)^2]\Big|^t_d\\
&\Rightarrow T(t)=T_0+a(T_1-T_0)d+a(T_1-T_0)t-\frac 12a^2(T_1-T_0)(t-d)^2-a(T_1-T_0)d\\
&\Rightarrow T(t)=T_0+a(T_1-T_0)[t-\frac 12a(t-d)^2]\\
\end{align*}
$$
算到後來，得出所有 $T$。
$$
T(t)=T_0+a(T_1-T_0)\sum^n_{k=1}\frac{(-a)^{k-1}[t-(k-1)d]^k}{k!}
$$
假設 $a=1.2$，圖形震盪幅度大。
若 $a=0.8$，震盪幅度小。
由此可知，在 $\frac{dT}{dt}=a(T_1-T(t-d))$ 的模型下，反應太快不是好事。
這也適用在許多方面，例如股票市場、存貨管理，若公司管理者向上游廠商下單時，過於依靠短期銷售量，而忽略長期趨勢和不確定因素，便會導致存貨過多或不足。
對於個人也是如此，很多時候我們看到一則新消息，注意力忍不住被吸過去。過個幾天，又忘記之前看了什麼，真正重要的目標反而被落下。
在充滿延遲的複雜系統中，慢一點反而更好。